[Python3] 피보나치 수

 피보나치 수는 0과 1로 시작해서 그 다음 숫자가 마지막 두개의 숫자의 합인 수열이다. 점화식으론 다음과같다.

[사진 출처-위키백과]

 점화식만 놓고 보자면 실제 구동하는 코드와 유사해서 다음과 같이 금방 짤 수 있을 것이다.

def fibo(n):
    if(n == 0):
        return 0
    if(n == 1):
        return 1
    return fibo(n-1) + fibo(n-2)

 하지만, 조금만 생각해보면 이 코드는 사람이 이해하고 읽기는 쉽지만 컴퓨터에겐 매우 복잡한 식이란걸 알 수 있다.

 fibo(5)를 호출하면 다음과 같은 일이 발생한다.

 엄청나게 복잡해지는 연산을 컴퓨터가 해야한다. 물론 컴퓨터라 이정도는 빠를지 몰라도, 숫자가 무지막지하게 커지면 컴퓨터의 연산 실행 시간은 상상을 초월한다.

 헌데, 저 순서도를 보면 중복되는 점이 눈에 띌 것이다. 만약 사람이 이 계산을 한다면, fibo(2)정도는 외우고 바로 쓰지 않을까? 그 생각을 컴퓨터에게도 시켜보는 것이다.

fibo_list = {}  #fibo_list를 딕셔너리로 선언한다.
def fibo(n):
    if (n == 0):
        return 0

    elif (n == 1):
        return 1

    elif (n not in fibo_list):  #fibo_list에 없다면 구해서 그 값을 fibo_list에 저장한다.
        print(n)
        fibo_list[n] = fibo(n - 1) + fibo(n - 2)
        return fibo_list[n]

    else:
        return fibo_list[n]     #fibo_list에 있다면 그 값을 반환

 이와 같이 결과값을 저장하며 연산을 줄이는 프로그래밍을 다이나믹 프로그래밍 또는 동적 프로그래밍이라 한다. 이 방법으로 꽤 큰 항까지 빠르게 구할 수 있다. 하지만 재귀함수가 계속될수록 스택이 쌓여서 메모리가 금방 모자라게 되니, 너무 큰 숫자는 오류를 유발한다.

이 방법 외에 파이썬 홈페이지인 python.org에서는 다른 방법으로 계산하였다.

def fibo (n):
    a, b = 0, 1
    while(a < n):
        a, b = b, a+b
    print(a)

 피보나치 수열의 n항을 구할수는 없지만, n보다 작은 피보나치 수를 구할 수 있다. 심지어 메모리 부족현상이 일어나지 않아 두번째 프로그램보다 더 큰수도 빠르게 연산할 수 있다.

 다음은 위 코드로 작성한 1000번째 피보나치 수이다.

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 75025 121393 196418 317811 514229 832040 1346269 2178309 3524578 5702887 9227465 14930352 24157817 39088169 63245986 102334155 165580141 267914296 433494437 701408733 1134903170 1836311903 2971215073 4807526976 7778742049 12586269025 20365011074 32951280099 53316291173 86267571272 139583862445 225851433717 365435296162 591286729879 956722026041 1548008755920 2504730781961 4052739537881 6557470319842 10610209857723 17167680177565 27777890035288 44945570212853 72723460248141 117669030460994 190392490709135 308061521170129 498454011879264 806515533049393 1304969544928657 2111485077978050 3416454622906707 5527939700884757 8944394323791464 14472334024676221 23416728348467685 37889062373143906 61305790721611591 99194853094755497 160500643816367088 259695496911122585 420196140727489673 679891637638612258 1100087778366101931 1779979416004714189 2880067194370816120 4660046610375530309 7540113804746346429 12200160415121876738 19740274219868223167 31940434634990099905 51680708854858323072 83621143489848422977 135301852344706746049 218922995834555169026 354224848179261915075 None

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